Opracowania do zajęć wyrównawczych z matematyki elementarnej

Podstawowe właściwości logarytmów ; wybrane tożsamości trygonometryczne

Wykazanie ( udowodnienie ) niektórych z tych właściwości

Właściwości logarytmów :

Funkcje trygonometryczne o podwojonych wartościach argumentów

Treningi zadaniowe dotyczace funkcji : liniowej, kwadratowej i trygonometrycznych

Zestaw `autorskich` zadań treningowych

Funkcja liniowa oraz interpretacja jej parametrów :

Funkcja kwadratowa oraz interpretacja jej parametrów :

Zasady składania i rozkładania wektorów :

Zadania dotyczace wektorów wymagają umiejętności obliczania ciśnienia dynamicznego działającego na powierzchnię żagla lub skrzydła samolotu.

Czym jest owo ciśnienie i jak się je oblicza ?

Obliczenia wektorowe oraz logarytmy raz jeszcze ( dla treningu ) oraz co wynika z faktu, że dla małych wartości kąta - argumentu funkcji sinus funkcję tę możemy zastąpić samym argumentem

Analiza równoległoboku sił, w którym trzeba ( umieć ) znaleźć kąt pomiędzy wektorami :

Znajdowanie odległości pomiędzy dwoma punktami ( dwoma obiektami ) w przestrzeni metrycznej

Odległość w takiej przestrzeni można zdefiniować jako pierwiastek kwadratowy ze sumy kwadratów róźnic współrzędnych obu punktów ; tak obliczaną odległość nazywa się odległością euklidesową . Obliczanie takiej odległości nie jest czymś abstrakcyjnym ; tak zdefiniowana odległość może być np. miarą odległości pomiędzy różnymi samogłoskami. We widmie sygnałów mowy występują charakterystyczne składowe maksymalne, zwane formantami ; przyjmuje się, że dla identyfikacji ( rodzaju ) samogłoski wystarczy znać częstotliwości dwóch pierwszych formantów ( tzw. F1 oraz F2 ). Można zatem w dwuwymiarowym układzie współrzędnych ( w którym na obu osiach odłożono częstotliwości dwóch pierwszych formantów ) nanieść współrzędne poszczególnych samogłosek niczym w grze "w okręty". W takim układzie współrzędnych ( w takiej przestrzeni metrycznej ) można oczywiście szacować odległości ( wyrażane w [ Hz ] ) pomiędzy poszczególnymi samogłoskami. Treningu w obliczaniu takich odległości dotyczy poniższe zadanie :

Jedna z podstawowych własności logarytmów mówi, że różnica logarytmów równa jest logarytmowi ilorazu.

Właściwości ta pozwala niekiedy w radykalny sposób uprościć obliczenia. Poniższe zadanie z zakresu teorii informacji stanowi przykład ilustrujący tę właściwość :

Dla małych wartości kąta ( α ≤ 30 ^o ) wartość tego kąta, wyrażana w radianch, jest prawie równa sinusowi tego kąta ( warto to sprawdzić przy pomocy jakiegokolwiek kalkulatora "ręcznego" lub przy pomocy któregoś z programów "matematycznych" zalecanych wcześniej ). Fakt ten możemy wykorzystać do obliczenia prędkości lub przyspieszenia drgań, w przypadku kiedy ruch oscylacyjny opisywany jest funkcją sinusoidalną :

Wyprowadzenie wzoru na prędkość ruchu oscylacyjnego

Jeżeli natomiast wychylenia w ruchu oscylacyjnym dokonują się według funkcji cosinus , to prędkość będzie opisana wzorem następującym :

x ( t ) = x ₀ cos ( ω t ) - → v ( t ) = - x ₀ ω sin ( ω t )

W analogiczny sposób można powyprowadzać wzory na przyspieszenia w sinusoidalnym bądź cosinusoidalnym ruchu oscylacyjnym :

x ( t ) = x ₀ sin ( ω t ) - → a ( t ) = - x ₀ * ω ² * sin ( ω t )

x ( t ) = x ₀ cos ( ω t ) - → a ( t ) = - x ₀ * ω ² * cos ( ω t )

Wprowadzenie do analizy matematycznej ( ciagi, granice , szeregi ) W dotychczasowych wzorach bardzo często wystepuje liczba π ; we wzorach poznawanych wkrótce bardzo często będzie występować liczba e . Obie liczby są liczbami niewymiernymi, tj. takimi, dla których nigdy nie poznamy ich prawdziwej wartości, ale możemy jedynie znać ich mniej lub bardziej przybliżone wartości, zależnie od obranego sposobu obliczeń. Ale przy takim podejściu ( do sprawy ) nasuwa się pytanie :

A skąd my wiemy, że owe tajemnicze liczby niewymierne posiadają jakąś "konkretną", skończoną wartość ( choć przez nas nie poznaną ) ?

Jednym ze sposobów udzielenia pozytywnej odpowiedzi na tak postawione pytanie jest wykazanie, że owe liczby mogą być "osiągalne" poprzez ( nieskończone ) sumowanie wyrazów pewnego szeregu ; innymi słowy : budujemy wyrażenie, które w miarę kolejnego ( coraz bardziej "rozrastającego się" ) sumowania daje coraz to bliższe przybliżenia owej liczby niewymiernej. Oczywiście nie jesteśmy w stanie przeprowadzić sumowania nieskończonej liczby składników, ale poprzez odpowiednie postępowanie ( np. poprzez badanie tzw. "zbieżności" ) jesteśmy w stanie wykazać, że we wyniku takiego sumowania uzyskałoby się jakąś liczbę skończoną, chociaż o nie poznanej do końca dokładnej wartości. Bliżej na ten temat mówi poniższe opracowanie :

Graficzną interpretację owych pojęć stanowić mogą asymptoty , czyli proste, które stykają się z badaną krzywą "gdzieś tam" w nieskończoności. Przebieg niektórych spośród owych asymptot można prześledzić na przykładzie funkcji arcus tangens .

Ale oprócz tej matematyki nieco bardziej zaawansowanej warto nie zapominać o logarytmach :

Granice funkcji, pochodne funkcji

Granice funkcji

Pojęcie granicy funkcji najlepiej zilustrować na przykładzie znanej ze szkolnej matematyki funkcji tangens . W okolicach wartości π / 2 funkcja ta posiada granicę lewostronną i prawostronną ; graficznym przedstawieniem tej granicy jest asymptota pionowa. Jeżeli zbliżamy się do tej krytycznej wartości π / 2 od strony mniejszych wartości zmiennej niezależnej, to wówczas granicą funkcji w tym punkcie jest + ∞ ( tzn. asymptota pionowa spotyka się z krzywą, będącą wykresem funkcji tangens , gdzieś "u góry" w nieskończoności ) ; jeżeli zbliżamy się do tej samej wartości krytycznej π / 2 od strony wyższych wartość zmiennej niezależnej, to wówczas granicą jest - ∞ ( tzn. asymptota pionowa spotyka się z krzywą, będącą wykresem funkcji tangens , gdzieś "u dołu" w nieskończoności ).
Granice posiada również funkcja odwrotna do funkcji tangens , czyli funkcja arcus tangens . Jeżeli zmienna niezależna zdąża do + ∞ , to wartość funkcji arcus tangens zdąża do π / 2 ( i ta liczba jest właśnie granicą funkcji arcus tangens ). Jeżeli zmienna niezależna zdąża do - ∞ , to wartość funkcji arcus tangens zdąża do - π / 2 ( i ta liczba jest właśnie drugą z granic tej funkcji ).
Funkcję arcus tangens i jej granice warto zapamiętać, ponieważ przyda się to w toku dalszych wykładów z akustyki ( przy omawianiu tzw. źródła liniowego ).

Pochodne funkcji

Stosunek przyrostu wartości funkcji ( pewnej funkcji ) do przyrostu jej zmiennej niezależnej Δ x nazywamy ilorazem różnicowym .

Granicę tego ilorazu przy wielkości Δ x zdążającej do zera nazywamy pochodną funkcji :

Nasuwa się w tym miejscu pytanie : po co wprowadzono takie pojęcie i do czego może się przydać tak zdefiniowana wielkość ? Aby odpowiedzieć na tak postawione pytanie, posłużmy się przykładem odnoszącym się do kinematyki i analizujacym związki pomiędzy drogą a prędkością w ruchu okresowo przyspieszanym :

A oto internetowy kalkulator do obliczania pochodnych różnego rodzaju funkcji :

http://www.kalkulatory.pl/index.php?option=com_content&task=view&id=297

Aby móc zweryfikować działanie owego kalkulatora w niektórych przypadkach udowodnijmy parę prostych twierdzeń dotyczacych pochodnych :

1. Pochodna iloczynu funkcji przez stałą :

Pochodna ta jest równa iloczynowi pochodnej tej funkcji przez stałą :

Pochodna iloczynu funkcji przez stałą

2. Pochodna sumy dwóch funkcji :

Pochodna sumy dwóch funkcji

3. Pochodna funkcji będącej iloczynem innej funkcji przez zmienną niezależną ( pochodna "iloczynowa" ) :

Pochodna iloczynu funkcji przez zmienną niezależna

4. Pochodna funkcji kwadratowej :

Pochodna funkcji kwadratowej

5. Pochodna funkcji "sześciennej" ( potęgowej z wykładnikiem 3 ) :

Pochodna funkcji 'sześciennej'

Ćwiczenia własne :

Obliczyć pochodną funkcji : y = 2 x ( przynajmniej na dwa sposoby )
Obliczyć pochodną funkcji : y = x ⁿ ( przynajmniej na dwa sposoby )

W przypadku wyznaczania pochodnej funkcji potęgowej o wykładniku dowolnym można skorzystać ze wzoru na pochodną iloczynową i przeprowadzić coś w rodzaju dowodu indukcyjnego ; można też skorzystać ze wzoru na tzw. dwumian Newtona .

Nasunie się w tym miejscu pytanie : czy znaleziony "ogólny" wzór na pochodną funkcji potegowej odnosi się wyłącznie do potęg, których wykładnik jest liczbą naturalną ?

Aby odpowiedzieć na tak postawione pytanie przeanalizujemy dwa przypadki :

Kiedy wykładnik potęgi ( funkcji potęgowej ) jest liczbą ujemną
Kiedy wykładnik potęgi ( funkcji potegowej ) jest liczbą ułamkową

6. Pochodna funkcji "odwrotnościowej" :

7. Pochodna funkcji typu "pierwiastek kwadratowy" :

Zatem ogólny wzór na pochodną funkcji potęgowej odnosi się nie tylko do potęg o wykładniku naturalnym.

Całki i kontynuacja pochodnych Jeżeli logarytmowanie było operacją odwrotną do potęgowania, tak całkowanie jest operacją odwrotną do obliczania pochodnych, czyli do różniczkowania . We wyniku calkowania możemy uzyskać albo całkę nieoznaczoną , która jest funkcją, albo całkę oznaczoną , która jest liczbą. Przy tak zdefiniowanym całkowaniu całki wybranych funkcji podstawowych wyglądają następująco :

Kilka wybranych całek

Całki w zastosowaniach fizycznych

Całki się stosuje w przypadku tych wszystkich wzorów "iloczynowych", gdzie w szkolnym ujęciu pewna wielkość wypadkowa jest iloczynem dwóch innych wielkości. Otóż ten "szkolny" iloczyn można stosować w przypadku, kiedy obie mnożone wielkości są od siebie niezależne. W przypadku, kiedy jedna z tych wielkości, którą zamierzamy pomnożyćprzez drugą, zależy od tej drugiej wielkości, wówczas operację mnożenia należy zastąpić całkowaniem. Przykłady najlepiej znależć w kinematyce , rozpatrując związki pomiędzy drogą, prędkością i czasem :

Droga jako wynik całkowania prędkości względem czasu

W podobny sposób wykorzystuje się całki przy zagadnieniach z elektryczności i magnetyzmu, np. przy obliczaniu energii W zgromadzonej przez naładowany kondensator elektryczny :

Energia naładowanego kondensatora

Bardziej poglądowe sposoby obliczania całek

Obliczanie całki oznaczonej sprowadza się ( w interpretacji geometrycznej ) do obliczani pola powierzchni pomiędzy krzywą ( stanowiącą wykres danej funkcji ) a osią odciętych.

Do takiej interpretacji nawiązuje jedna z numerycznych metod obliczania całek oznaczonych, zwana metodą trapezów . Poniżej zamieszczon dwa skrypty ( napisane w języku pakietu SciLab do przeprowadzania takich obliczeń. Pierwszy z nich to skrypt generujący tablicę wartości wybranej funkcji na podstawie wzoru opisującego tę funkcję :

Drugi ze skryptów dokonuje całkowania metodą trapezów :

Oba skrypty są dostępne również w 'spakowanej' postaci archiwalnej :

Pochodne funkcji trygonometrycznych

Pochodna funkcji sinus :

Sposób wyznaczania pochodnej funkcji sinus

( Pochodną funkcji cosinus proszę spróbować obliczyć samodzielnie w podobny sposósb )

Pochodna funkcji tangens :

Sposób wyznaczania pochodnej funkcji tangens

Pochodna funkcji cotangens :

Sposób wyznaczania pochodnej funkcji cotangens

Wzór na pochodną iloczynu dwóch funkcji i wyynikające z niego konsekwencje

Na początek ( na wstępie ) udowodnijmy wzór na pochodną kwadratu funkcji :

Wzór na pochodną kwadratu funkcji

Ćwiczenia :

Na podstawie powyższego wzoru obliczyć pochodną funkcji : y = x ²
Na podstawie powyższego wzoru ( a także w jeszcze przynajmniej jeden, odmiennny sposób ) wyznaczyć pochodną funkcji : y = sin ² x
Na podstawie powyższego wzoru ( a także w jeszcze przynajmniej jeden, odmiennny sposób ) wyznaczyć pochodną funkcji : y = cos ² x

Przed wyznaczeniem wzoru na pochodną iloczynu dwóch funkcji przyda się zapoznanie się z pomocniczym przekształceniem dotyczącycm tego iloczynu :

Inna postać iloczynu dwóch funkcji

Na podstawie tego wzoru "przekształceniowego" oraz wzorów na pochodną sumy i pochodną kwadratu możemy wyznaczyć pochodną iloczynu dwóch funkcji :

Pochodna iloczynu dwóch funkcji

Ćwiczenia :

Na podstawie powyższego wzoru wyprowadzić wzór na pochodną iloczynu trzech funkcji
Na podstawie powyższego wzóru wyprowadzić wzór na pochodną funkcji : y = sin 2 x
Na podstawie powyższego wzoru wyprowadzić wzór na pochodną funkcji : y = 1 / √ x

Metoda całkowania "przez części"jako konsekwencja wzoru na pochodną iloczynu

Oto wyprowadzenie wzorów "generujących" dla tej metody :

Metoda całkowania 'przez części'

W zależności od tego, która z dwóch całek ( całka A czy całka B ) jest łatwiejsza do wyliczenia, stosujemy pierwszy lub drugi z dwóch ostatnich wzorów. Gdyby całka B okazała się łatwiejsza do wyliczenia, to stosujemy wzór, w którym całka A stoi po lewej stronie tego wzoru. Gdyby z kolei całka A okazała się być tą łatwiejszą do wyliczenia, to wówczas stosujemy wzór, w którym całka B stoi po lewej stronie tego wzoru.

Przykłady zastosowania wzoru na "pochodną iloczynu" we fizyce :

Przykład z mechaniki ( mówiący o tym, że siła może być traktowana jako pochodną pędu względem czasu :

Pochodna pędu względem czasu

Jeżeli masa jest stała w czasie, wówczas siła jest proporcjonalna do pochodnej prędkości względem czasu, czyli do przyspieszenia ; jest to wówczas klasyczna siła Newtona , opisującej tzw. drugie prawo mechaniki Newtona .
Jeżeli stała jest prędkość, a zmienia się masa w czasie ( np. systematycznie tej masy ubywa ), to wówczas mamy do czynienie ze wzorem opisującym siłę ciągu silnika rakietowego. Ponieważ w trakcie lotu rakiety systematycznie ubywa paliwa rakietowego ( albo wody w przypadku rakiety wodnej ), to pochodna masy względem czasu jest wówczas ujemna. Oznacza to, że siła ciągu silnika rakietowego stanowi wektor o zwrocie przeciwnym do zwrotu wektora prędkości czynnika napędowego wypływającego z dyszy takiego silinika.

Przykład ze zakresu elektryczności dotyczący zmiany w czasie ładunku gromadzonego na kondensatorze elektrycznym ;

Pochodna ładunku elektrycznego względem czasu

Przykład, w którym napięcie jest stałe, a okresowo zmienia się pojemność kondensatora ( poprzez okresową zmianę odległości jego okładek ), to przykład mikrofonu pojemnościowego . W klasycznym układzie takiego mikrofonu okładki kondensatora ( z których jedna jest ruchomą membrana ) zasilane są wysokim napięciem stałym, tzw. polaryzującym. W obwodzie zasilania - polaryzacji w szereg z kondensatorem mikrofonowym właczony jest opornik o bardzo dużej rezystancji . Okresowe zmiany odległości pomiędzy okładkami kondensatora mikrofonowego ( pdo wpływem fali akustycznej padającej na okładkę - membranę ) powodują przeplyw w obwodzie okresowo zmiennych prądów ładowania i rozładowania tego kondensatora. Dzięki dużej rezystancji wspomnianego opornika prądy te wywołują powstanie na tym oporniku dośc wyraźnego i okresowo zmiennego spadku napięcia ( zgodnie z klasycznym prawem Ohma ), które to napięcie okresowo zmienne podlega dalszemu wzmacnianiu w układach współpracujących z mikrofonem pojemnościowym.

Pochodna iloczynu w szacowaniu "błędów" - niepewności pomiarowych :

( Załóżmy, że dysponujemy uniwersalnym miernikiem - mulitemetrem elektronicznym, który posiada zdolność pomiaru pojemności z "przedziałem niepewności" Δ C oraz pomiaru napięcia z "przedziałem niepewności" Δ U )

Wówczas "przedział niepewności" oszacowania ładunku zgromadzonego na poddanym pomiarom kondensatorze wyrazi się wzorem następującym :

Δ Q = C * Δ U + U * Δ C

( Proszę spróbować odtworzyć powstanie tego wzoru - jest to szacowanie przedziału "niepewności pomiarowej" metodą tzw. różniczki zupełnej ).

Przydatność pochodnych do wyznaczania wartości minimalnych i maksymalnych funkcji

Jakie są rodzaje wartości ekstremalnych ( maksymalnych i mninimalnych ) i dlaczego zerowanie się pochodnej wskazuje na obecność pewnego rodzaju wartości ekstremalnych :

Ćwiczenia :

Przypomnijmy sobie podstawowe właściwości i parametry funkcji kwadratowej :

Proszę spróbować wyznaczyć przy pomocy pochodnych współrzędne wierzchołka paraboli

Wielkości i parametry opisujące tzw. rzut ukośny opisane są na następujących stronach internetowych :

Załóżmy, że jakiś miłośnicy historii, a zwłaszcza - rekonstrukcji historycznych, odtwarzają starożytne i średniowieczne machiny miotające, takie jak : trebusz , trabutium czy balistę .

Czy na podstawie powyższych wzorów i umiejętnie wykorzystując pochodne mogą wyznaczyć maksymalną wysokość i maksymalny zasięg rzutu ukośnego

Kiedy i jak całkować ?

Czasem całkowanie można zastąpić mnożeniem, a czasem takie zastępowanie może prowadzić do zawyżonych bądź zaniżonych wyników obliczeń ; oto przykład :

Gdyby podczas całkowania ciśnienia po powierzchni półsfery precyzyjnie sformułowano warunek, że chodzi o składową siły poruszającą membranę wzdłuż jej osi, to wówczas we wzorze podcałkowym należałoby uwzględnić cosinus kąta φ i uzyskanoby ( w wyniku całkowania ! ) rezultat identyczny, jak przy całkowaniu natężenia, tj. siła poruszająca membranę równa byłaby iloczynowi ciśnienia przez połowę pola powierzchni półsfery.

Szczególnym przykładem całki ( oznaczonej ) jest tzw. całka krzywoliniowa ; w szczególnym przypadku całka taka może być wykorzystana do obliczenia długości odcinków ( łuków ) krzywych.
Założmy, że badamy jakiś rodzaj promieniowania i do jego skupienia wykorzystujemy "wydłużone" zwierciadło wklęsłe, posiadające kształt walca parabolicznego . Zwierciadło wykonane jest z arkusza blachy aluminiowej i chcemy oszacować jego pole powierzchni ( przydatne do przeprowadzenia jakichś dalszych obliczeń "energetycznych" ). Oczywiście można byłoby owo blaszane zwierciadło wyklepać, uzyskując prostokątny płat blachy aluminiowej, zmierzyć długości boków prostokąta i obliczyć jego pole powierzchni. Ale załóżmy, że ( ze względu na dalsze przewidywane badania ) chcemy zachować kształt owego zwierciadła, zatem aby poznać długość jednego z jego boków musimy zmierzyć długość odcinka - łuku paraboli. Zakładamy, że owo zwierciadło ( "rynnę" paraboliczną ) stawiamy pionowo na dużym arkuszu papieru milimetrowego ( można we własnym zakresie wyprodukować sobie ów papier milimetrowy ). Obrysowujemy na owym papierze łuk "rynny" zwierciadlanej i uzyskujemy w ten sposób łuk paraboli. Z papieru milimetrowego odczytujemy współrzędne punktów leżących na łuku paraboli i dzięki wykorzystaniu którejś z metod interpolacji odtwarzamy równanie opisujące ową parabolę.

Czy potrafilibyśmy obliczyć długość łuku takiej paraboli ?

Zadania z akustyki z wykorzystaniem operacji całkowania :

Całki po elementach powierzchni i po łukach krzywych - jak je w praktyce liczyć ? W podobny sposób, jak poprzednio, obliczmy siłę parcia wiatru bocznego na powłokę sterowca. Jednak w odróżnieniu od przypadków poprzednich będziemy całkować nie powierzchni półsfery, ale po powierzchni bryły zwanej elipsoidą obrotową ( przyjmuejmy, że taki właśnie kształt posiada powłoka sterowca ). Oto jak mógłby wyglądać przebieg takiego całkowania :

W podobny sposób można sobie poradzić z bardziej skomplikowanymi całkami, np. z całką objętosciową . Przykładem zastosowania takiej całki objętościowej może być najbardziej ogólny wzór na obliczanie tzw. momentu bezwładności bryły sztywnej :

( gdzie ρ ( x , y , z ) czy ρ ( r , ϑ , φ ) oznacza zależną od współrzędnych gęstość wirujacej bryły )

Mogłoby się wydawać, że tego rodzaju całka musi się zawsze sprowadzać do całki potrójnej , czyli do trzykrotnego całkowania względem trzech współrzędnych kartezjańskich lub względem trzech współrzędnych biegunowych .
Jednak takiego potrójnego całkowania możemy uniknąć, jezeli umiejętnie wykorzystamy symetrię zagadnienia. Załóżmy, że chcemy oszacować energię kinetyczną tornada . Energia kinetyczna w ruchu wirowym równa jest połowie iloczynu momentu bezwładności przez kwadrat prędkości kątowej :

Zatem trzeba umieć oszacować moment bezwładności wirującego słupa powietrza ( na początek potraktujmy dla uproszczenia tornado jako wirujący walec "powietrzny" ). Trzeba się liczyć z tym, że gęstość powietrza w owym walcu będzie się zmieniać wzdłuż promienia wraz odległością od środka owego walca. Siła odśrodkowa będzie wyciagać na zewnątrz molekuły powietrza z owego walca, zatem zarówno gęstość, jak i ciśnienie będą rosnąć w miarę oddalania się od osi symetrii owego walca. Można przyjąć, że lokalna gęstość powietrza we wirującym walcu powietrznym będzie wprost proporcjonalna do promienia r ; innymi słowy, że istnieje "doosiowy" gradient gęstości.

Jak przy takich założeniach obliczyć moment bezwładności wirującego walca powietrznego ?

A co będzie, jeśli przyjmie się bardziej realistyczny model tornada , tj. przyjmie się, że nie mamy do czynienia z walcem, ale z dwoma wirującymi stozkami współosiowymi ( złożonymi wierzchołkami ) ?

Podobnemu uproszczeniu mogą ulec obliczenia długości łuków rozmaitych krzywych. Załóżmy, że chcemy obliczyć dlugość przewodu luźno zawieszonego między dwoma punktami. Cień wiszącego przewodu wyznaczy na podświetlonym ekranie krzywą, którą nazwiemy krzywą łańcuchową . Krzywa tego rodzaju może być traktowana jako wykres funkcji cosinus hiperboliczny .

Jak wyglądałoby obliczanie długości łuku takiej krzywej ?

Całki niewłaściwe - jak sobie z nimi radzić ? We fizyce wiele zjawisk i efektów traktowanych jest jako proces wykładniczy , np. stygnięcie ciał lub rozpad promieniotwórczy . Takim procesem wykładniczym jest również proces rozładowywania ( przez jakąś oporność ) naładowanego uprzednio kondensatora elektrycznego. Wśród praktyków - elektroników istnieje przekonanie, że naładowany kondensator nie traci całego swojego ładunku w ciągu dowolnie długiego, ale skończonego czasu trwania procesu rozładowywania. Naładowany kondensator utraci całkowicie swój ładunek dopiero po upływie nieskończenie długiego czasu trwania procesu rozładowywania. Sprawdźmy to przekonanie teoretycznie, całkując natężenie prądu rozładowania ( zanikającego w czasie według pewnej malejącej funkcji wykładniczej ) po nieskończenie długim interwale całkowania. Kiedy jedna z granic całkowania "ucieka" do nieskończoności, wówczas mamy do czynienia z tzw. całka niewłaściwą .

O tym, jak radzić sobie z taką całką ( a także - z rozładowującym się kondensatorem ) mówi poniższe opracowanie :

Z dotychczasowego kursu matematyki wiadomo, że niekiedy szereg nieskończony jest zbiezny, tj. mimo sumowania nieskończenie wileu składników takiego szeregu uzyskujemy ( we wyniku tego sumowania ) jakąś sumę "skończoną", tj. o wartości mniejszej od nieskończoności. Przypomnienie tych zagadnień można znaleźć na poniższej stronie internetowej :

http://encyklopedia.interia.pl/haslo?hid=106311

Powstaje pytanie, czy z podobną sytuacją możemy mieć do czynienia, kiedy zamiast sumowaani całkujemy wzdłuż pewnej zmiennej aż do nieskończoności. Weźmy pod uwagę przykład z akustyki dotyczący promieniowania fali akustycznej przez tzw. źródło liniowe ( przypadek owego 'źródła' został omówiony w podręczniku "Dźwięki i fale" w rozdziale XIII ). Podczas obliczania wypadkowego natężenia fali emitowanej przez takie źródło sumujemy nieskończenie wiele nieskończenie małych przyczynków do natężenia emitowanych przez nieskończenie wąskie "plastry" - pierścienie wycinane wzdłuż tego źródła ( czyli de facto całkujemy ). Nasuwa się pytanie, czy uzyskamy skończoną ( tj. mniejszą od nieskończoności ) wartość liczonego w ten sposób natężenia wypadkowego, jeśli długość owego źródła liniowego będzie rosła aż do nieskończoności. Temu zagadnieniu poświęcone jest poniższe opracowanie :

Wykładniczy zanik cechuje również amplitudę drgań oscylatora harmonicznego tłumionego ; więcej na temat takich oscylatorów można sobie poczytać na następujących stronach WWW :

Amplituda drgań takiego oscylatora zanika całkowicie w nieskończoności, ale energia wypromieniowana przez taki kondensator powinna przyjąć wartość skończoną. Zakładamy przy tym, że moc wypromieniowana w jednostce czasu ( np. w ciągu okresu zanikających drgań ) jest proporocjonalna do kwadratu amplitudy drgań zanikających.

Odpowiednie całki niewłaściwe możemy znaleźć w tablicach takich całek i najbardziej przydatne z takich całek przyjmują postać następującą :

Całkowanie niewłaściwa po iloczynie funkcji wykładniczej i trygonometrycznej

( oczywiście przy korzystaniu z powyższych wzorów warto również skorzystać ze wzoru na cosinus kąta podwojonego )

Jak przybliżać funkcję wielomianem - potęgowe szeregi funkcyjne ( szereg Taylora i szereg Mac Laurina ) Czasem potrzeba obliczyć z przybliżoną dokładnością wartość pewnej funkcji przestępnej , a nie mamy pod ręką ani kalkulatora ani odpowiednich tablic matematycznych. Przydaje się wówczas technika przybliżania takich funkcji przy pomocy odpowiednio skonstruowanych wielomianów ( szeregów potęgowych ), która pozwala w zadanym przybliżeniu oszacować wartość takiej funkcji przy pomocy czterech podstawowych działań. Właśnie na ten temat traktuje poniższe opracowanie :

Kalkulator programowy dla szeregów Taylora ( kalkulator napisany z wykorzystaniem języka JavaScript )

( Kalkulator ten otwiera w przeglądarce osobne okno, w którym pokazuje zarówno wartość wybranej funkcji dla wybranej wartości parametru x , jak i wartość rozwinięcia tej funkcji w szereg Taylora )

Poniższy kalkulator działa podobnie, ale został napisany z wykorzystaniem języka pakietu matematycznego SciLab . Funkcje i ich rozwinięcia w szereg należy przygotować w osobnym pliku tekstowym o nazwie Taylor.txt ; oto podgląd na obecną ( dotychczasową ) zawartość tego pliku :

Oto kalkulator programowy korzystający z tego zestawienia funkcji i ich rozwinięć :

Algebra Boole'a , rachunek zdań i rachunek zbiorów Na temat rachunku zdań w logice matematycznej czy na temat rachunku zbiorów można znaleźć o wiele więcej podręczników i opracowań encyklopedycznych niż na temat algebry Boole'a ; dlatego warto przedyskutować związki między tymi pojęciami :

Warto zapoznać się z tabelkami prawdy dotyczącymi trzech podstawowych funktorów logicznych :

Programowy kalkulator Boole'a ( napisany w języku Java Script ).

Funktory logiczne w ujęciu akustyka znającego technikę cyfrową

W nawiązaniu do poprzednich zajęć trochę uzupełnień odnoszących się do logiki "jako takiej" :

Jeszcze co nieco o logice

Operatorem - funktorem logicznym nie mającym odpowiednika w aparacie pojęciowym charakterystycznym dla algebry Boole'a czy rachunku zbiorów jest operator implikacji logicznej :

Dla implikacji logicznej można sporządzić ( podobnie jak dla innych operatorów - funktorów ) tabelkę jej prawdziwości :

Schematy rozumowań charakterystyczne dla tej logiki matematycznej ( zwanej również logiką formalną ) cechuje niezawodność. Schematy nieco zawodnych wnioskowań oferowała logika indukcyjna stosowana powszechnie przez doświadczalników.

Na temat tej logiki mówi co nieco poniższe opracowanie :

Przykłady zastosowań w akustyce i w technice

Niekiedy funkcje logiczne mogą być realizowane dzięki wykorzystaniu łączników elektromechanicznych ; właśnie tego dotyczy poniższy przykład :

Przykład elektroniczny, "prawie analogowy" wymagający zastosowania tylko jednej lub kilku bramek logicznych :

Przykład z wykorzystaniem sekwencyjnych układów logicznych ( cyfrowych ) oraz kombinacyjnych układów logicznych :

Jeszcze jedno proste zadanie dotyczące najbardziej elementarnej bramki logicznej ( bramki NAND ) :

Logika matematyczna i algebra Boole'a w realizacjach technicznych, cd.

Pierwsze maszyny produkowane przez IBM służyły do usprawniania prac prowadzonych przy spisach powszechnych. Autorem tych pomysłów i rozwiązań był niejaki Hollerith. Główna idea tych maszyn polegała na elektromechanicznej ( "stykowej" ) realizacji iloczynu logicznego ( koniunkcji ) przy badaniu wspówystępowania pewnych cech w pewnym podzbiorze badanej populacji. Zestaw cech badanych osób z tej populacji kodowany był na kartach perforowanych ( obecność danej cechy oznaczała perforację, czyli przedziurkowanie karty w danym miejscu tabelki ). Przez zestaw ( plik ) kart perforowanych przepuszczana była igła sondująca ( podłączona ddo jednego z biegunów kontrolnego obwodu elektrycznego ). Jeżeli we wszystkich kartach danego zestawu ( pliku ) występowała dana cecha, to w określonym miejscu na karcie występowała dziurka i igła pzrechodziła przez cały zestaw ( plik ) kart bez przeszkód zanurzając się w naczyńku wypełnionym rtęcią i zamykając w ten sposób obwód elektryczny. Bliżej to zagadnienie omówione jest na następujących stronach WWW :

Ćwiczenie we wyborze rodzaju funkcji logicznej do konkretnego celu ( zastosowania )

Podsumowanie zajęć wyrównawczych z matematyki

Oto przypomnienie najważniejszych tematów ( i przykładów ) poruszanych podczas zajęć :

Skrypty przygotowane w języku pakietu SciLab

Osoby chcące uzyskać zaliczenie a nieobecne na zajęciach, powinny nadesłać rozwiązania trzech poniższych zadań: